Résoudre 28x^2-3x-1

$$28 x ^ { 2 } - 3 x - 1$$

Factoriser

$$\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 28x^{2}+ax+bx-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-3 ab=28\left(-1\right)=-28$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -3.

$$a=-7 b=4$$

Réécrire 28x^{2}-3x-1 en tant qu’\left(28x^{2}-7x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(28x^{2}-7x\right)+\left(4x-1\right)$$

Factoriser 7x dans 28x^{2}-7x.

$$7x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Factoriser le facteur commun 4x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$28x^{2}-3x-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 28\left(-1\right)}}{2\times 28}$$

Calculer le carré de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 28\left(-1\right)}}{2\times 28}$$

Multiplier -4 par 28.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-112\left(-1\right)}}{2\times 28}$$

Multiplier -112 par -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 28}$$

Additionner 9 et 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 28}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 28}$$

L’inverse de -3 est 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 28}$$

Multiplier 2 par 28.

$$x=\frac{3±11}{56}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±11}{56} lorsque ± est positif. Additionner 3 et 11.

$$x=\frac{14}{56}$$

Réduire la fraction \frac{14}{56} au maximum en extrayant et en annulant 14.

$$x=\frac{1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±11}{56} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à 3.

$$x=-\frac{8}{56}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{56} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{1}{4} par x_{1} et -\frac{1}{7} par x_{2}.

$$28x^{2}-3x-1=28\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{7}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$28x^{2}-3x-1=28\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{1}{7}\right)$$

Soustraire \frac{1}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{4x-1}{4}\left(x+\frac{1}{7}\right)$$

Additionner \frac{1}{7} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{4x-1}{4}\times \frac{7x+1}{7}$$

Multiplier \frac{4x-1}{4} par \frac{7x+1}{7} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)}{4\times 7}$$

Multiplier 4 par 7.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)}{28}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 28 dans 28 et 28.

$$28x^{2}-3x-1=\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Évaluer

$$\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$