Résoudre 27=4n^2+12n

$$27 = 4 n ^ { 2 } + 12 n$$

Calculer n

$$n = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$n = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$4n^{2}+12n=27$$

Soustraire 27 des deux côtés.

$$4n^{2}+12n-27=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 4n^{2}+an+bn-27. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=12 ab=4\left(-27\right)=-108$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 12.

$$a=-6 b=18$$

Réécrire 4n^{2}+12n-27 en tant qu’\left(4n^{2}-6n\right)+\left(18n-27\right).

$$\left(4n^{2}-6n\right)+\left(18n-27\right)$$

Factorisez 2n du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$2n\left(2n-3\right)+9\left(2n-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 2n-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2n-3\right)\left(2n+9\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2n-3=0 et 2n+9=0.

$$n=\frac{3}{2} n=-\frac{9}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$4n^{2}+12n=27$$

Soustraire 27 des deux côtés.

$$4n^{2}+12n-27=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 4 à a, 12 à b et -27 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Calculer le carré de 12.

$$n=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -4 par 4.

$$n=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Multiplier -16 par -27.

$$n=\frac{-12±\sqrt{144+432}}{2\times 4}$$

Additionner 144 et 432.

$$n=\frac{-12±\sqrt{576}}{2\times 4}$$

Extraire la racine carrée de 576.

$$n=\frac{-12±24}{2\times 4}$$

Multiplier 2 par 4.

$$n=\frac{-12±24}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-12±24}{8} lorsque ± est positif. Additionner -12 et 24.

$$n=\frac{12}{8}$$

Réduire la fraction \frac{12}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$n=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-12±24}{8} lorsque ± est négatif. Soustraire 24 à -12.

$$n=-\frac{36}{8}$$

Réduire la fraction \frac{-36}{8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$n=-\frac{9}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$n=\frac{3}{2} n=-\frac{9}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$4n^{2}+12n=27$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$\frac{4n^{2}+12n}{4}=\frac{27}{4}$$

La division par 4 annule la multiplication par 4.

$$n^{2}+\frac{12}{4}n=\frac{27}{4}$$

Diviser 12 par 4.

$$n^{2}+3n=\frac{27}{4}$$

Divisez 3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$n^{2}+3n+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=\frac{27+9}{4}$$

Additionner \frac{27}{4} et \frac{9}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$n^{2}+3n+\frac{9}{4}=9$$

Factor n^{2}+3n+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}=9$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(n+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifier.

$$n+\frac{3}{2}=3 n+\frac{3}{2}=-3$$

Soustraire \frac{3}{2} des deux côtés de l’équation.

$$n=\frac{3}{2} n=-\frac{9}{2}$$