Résoudre 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Combiner 25x^{2} et -x^{2} pour obtenir 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 24x^{2}+ax+bx-25. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -10.

$$a=-30 b=20$$

Réécrire 24x^{2}-10x-25 en tant qu’\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Factorisez 6x du premier et 5 dans le deuxième groupe.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-5=0 et 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Combiner 25x^{2} et -x^{2} pour obtenir 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 24 à a, -10 à b et -25 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Additionner 100 et 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

L’inverse de -10 est 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{10±50}{48} lorsque ± est positif. Additionner 10 et 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Réduire la fraction \frac{60}{48} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{10±50}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 50 à 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{48} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Combiner 25x^{2} et -x^{2} pour obtenir 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Ajouter 25 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$24x^{2}-10x=25$$

Divisez les deux côtés par 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

La division par 24 annule la multiplication par 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{24} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Divisez -\frac{5}{12}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{5}{24}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{5}{24} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{5}{24} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Additionner \frac{25}{24} et \frac{25}{576} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Ajouter \frac{5}{24} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$