Résoudre 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 24x^{2}+ax+bx+21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

La solution est la paire qui donne la somme -65.

$$a=-56 b=-9$$

Réécrire 24x^{2}-65x+21 en tant qu’\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Factorisez 8x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-7=0 et 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 24 à a, -65 à b et 21 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de -65.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Additionner 4225 et -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

L’inverse de -65 est 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{65±47}{48} lorsque ± est positif. Additionner 65 et 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Réduire la fraction \frac{112}{48} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{65±47}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 47 à 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Réduire la fraction \frac{18}{48} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Soustraire 21 des deux côtés de l’équation.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

La soustraction de 21 de lui-même donne 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Divisez les deux côtés par 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

La division par 24 annule la multiplication par 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-21}{24} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Divisez -\frac{65}{24}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{65}{48}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{65}{48} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{65}{48} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Additionner -\frac{7}{8} et \frac{4225}{2304} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Factor x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Ajouter \frac{65}{48} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$