Résoudre 24w^2-23w-630

$$24 w ^ { 2 } - 23 w - 630$$

Factoriser

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 24w^{2}+aw+bw-630. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-23 ab=24\left(-630\right)=-15120$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -15120.

$$1,-15120 2,-7560 3,-5040 4,-3780 5,-3024 6,-2520 7,-2160 8,-1890 9,-1680 10,-1512 12,-1260 14,-1080 15,-1008 16,-945 18,-840 20,-756 21,-720 24,-630 27,-560 28,-540 30,-504 35,-432 36,-420 40,-378 42,-360 45,-336 48,-315 54,-280 56,-270 60,-252 63,-240 70,-216 72,-210 80,-189 84,-180 90,-168 105,-144 108,-140 112,-135 120,-126$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-15120=-15119 2-7560=-7558 3-5040=-5037 4-3780=-3776 5-3024=-3019 6-2520=-2514 7-2160=-2153 8-1890=-1882 9-1680=-1671 10-1512=-1502 12-1260=-1248 14-1080=-1066 15-1008=-993 16-945=-929 18-840=-822 20-756=-736 21-720=-699 24-630=-606 27-560=-533 28-540=-512 30-504=-474 35-432=-397 36-420=-384 40-378=-338 42-360=-318 45-336=-291 48-315=-267 54-280=-226 56-270=-214 60-252=-192 63-240=-177 70-216=-146 72-210=-138 80-189=-109 84-180=-96 90-168=-78 105-144=-39 108-140=-32 112-135=-23 120-126=-6$$

La solution est la paire qui donne la somme -23.

$$a=-135 b=112$$

Réécrire 24w^{2}-23w-630 en tant qu’\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right).

$$\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right)$$

Factorisez 3w du premier et 14 dans le deuxième groupe.

$$3w\left(8w-45\right)+14\left(8w-45\right)$$

Factoriser le facteur commun 8w-45 en utilisant la distributivité.

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$24w^{2}-23w-630=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de -23.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-96\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par -630.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+60480}}{2\times 24}$$

Additionner 529 et 60480.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{61009}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 61009.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±247}{2\times 24}$$

L’inverse de -23 est 23.

$$w=\frac{23±247}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$w=\frac{23±247}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation w=\frac{23±247}{48} lorsque ± est positif. Additionner 23 et 247.

$$w=\frac{270}{48}$$

Réduire la fraction \frac{270}{48} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$w=\frac{45}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation w=\frac{23±247}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 247 à 23.

$$w=-\frac{224}{48}$$

Réduire la fraction \frac{-224}{48} au maximum en extrayant et en annulant 16.

$$w=-\frac{14}{3}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{45}{8} par x_{1} et -\frac{14}{3} par x_{2}.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w-\left(-\frac{14}{3}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Soustraire \frac{45}{8} de w en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Additionner \frac{14}{3} et w en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\times \frac{3w+14}{3}$$

Multiplier \frac{8w-45}{8} par \frac{3w+14}{3} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{8\times 3}$$

Multiplier 8 par 3.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{24}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 24 dans 24 et 24.

$$24w^{2}-23w-630=\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Évaluer

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$