Résoudre 24x^2+10x-21

$$24 { x }^{ 2 } +10x-21$$

Factoriser

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 24x^{2}+ax+bx-21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=10 ab=24\left(-21\right)=-504$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -504.

$$-1,504 -2,252 -3,168 -4,126 -6,84 -7,72 -8,63 -9,56 -12,42 -14,36 -18,28 -21,24$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+504=503 -2+252=250 -3+168=165 -4+126=122 -6+84=78 -7+72=65 -8+63=55 -9+56=47 -12+42=30 -14+36=22 -18+28=10 -21+24=3$$

La solution est la paire qui donne la somme 10.

$$a=-18 b=28$$

Réécrire 24x^{2}+10x-21 en tant qu’\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right).

$$\left(24x^{2}-18x\right)+\left(28x-21\right)$$

Factorisez 6x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$6x\left(4x-3\right)+7\left(4x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+10x-21=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Calculer le carré de 10.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 24\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -4 par 24.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96\left(-21\right)}}{2\times 24}$$

Multiplier -96 par -21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+2016}}{2\times 24}$$

Additionner 100 et 2016.

$$x=\frac{-10±\sqrt{2116}}{2\times 24}$$

Extraire la racine carrée de 2116.

$$x=\frac{-10±46}{2\times 24}$$

Multiplier 2 par 24.

$$x=\frac{-10±46}{48}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±46}{48} lorsque ± est positif. Additionner -10 et 46.

$$x=\frac{36}{48}$$

Réduire la fraction \frac{36}{48} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-10±46}{48} lorsque ± est négatif. Soustraire 46 à -10.

$$x=-\frac{56}{48}$$

Réduire la fraction \frac{-56}{48} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{7}{6}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{3}{4} par x_{1} et -\frac{7}{6} par x_{2}.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{7}{6}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$24x^{2}+10x-21=24\left(x-\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Soustraire \frac{3}{4} de x en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\left(x+\frac{7}{6}\right)$$

Additionner \frac{7}{6} et x en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{4x-3}{4}\times \frac{6x+7}{6}$$

Multiplier \frac{4x-3}{4} par \frac{6x+7}{6} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{4\times 6}$$

Multiplier 4 par 6.

$$24x^{2}+10x-21=24\times \frac{\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)}{24}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 24 dans 24 et 24.

$$24x^{2}+10x-21=\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$

Évaluer

$$\left(4x-3\right)\left(6x+7\right)$$