Résoudre 2019x^2=2020+[x]

$$2019 x ^ { 2 } = 2020 + [ x ]$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x = \frac{2020}{2019} = 1\frac{1}{2019} \approx 1,000495295$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Soustraire 2020 des deux côtés.

$$2019x^{2}-2020=x$$

Soustraire x des deux côtés.

$$2019x^{2}-2020-x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$2019x^{2}-x-2020=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2019x^{2}+ax+bx-2020. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=2019\left(-2020\right)=-4078380$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -4078380.

$$1,-4078380 2,-2039190 3,-1359460 4,-1019595 5,-815676 6,-679730 10,-407838 12,-339865 15,-271892 20,-203919 30,-135946 60,-67973 101,-40380 202,-20190 303,-13460 404,-10095 505,-8076 606,-6730 673,-6060 1010,-4038 1212,-3365 1346,-3030 1515,-2692 2019,-2020$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-4078380=-4078379 2-2039190=-2039188 3-1359460=-1359457 4-1019595=-1019591 5-815676=-815671 6-679730=-679724 10-407838=-407828 12-339865=-339853 15-271892=-271877 20-203919=-203899 30-135946=-135916 60-67973=-67913 101-40380=-40279 202-20190=-19988 303-13460=-13157 404-10095=-9691 505-8076=-7571 606-6730=-6124 673-6060=-5387 1010-4038=-3028 1212-3365=-2153 1346-3030=-1684 1515-2692=-1177 2019-2020=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-2020 b=2019$$

Réécrire 2019x^{2}-x-2020 en tant qu’\left(2019x^{2}-2020x\right)+\left(2019x-2020\right).

$$\left(2019x^{2}-2020x\right)+\left(2019x-2020\right)$$

Factoriser x dans 2019x^{2}-2020x.

$$x\left(2019x-2020\right)+2019x-2020$$

Factoriser le facteur commun 2019x-2020 en utilisant la distributivité.

$$\left(2019x-2020\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2019x-2020=0 et x+1=0.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Soustraire 2020 des deux côtés.

$$2019x^{2}-2020=x$$

Soustraire x des deux côtés.

$$2019x^{2}-2020-x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2019x^{2}-x-2020=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2019 à a, -1 à b et -2020 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2019\left(-2020\right)}}{2\times 2019}$$

Multiplier -4 par 2019.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8076\left(-2020\right)}}{2\times 2019}$$

Multiplier -8076 par -2020.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+16313520}}{2\times 2019}$$

Additionner 1 et 16313520.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{16313521}}{2\times 2019}$$

Extraire la racine carrée de 16313521.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±4039}{2\times 2019}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±4039}{2\times 2019}$$

Multiplier 2 par 2019.

$$x=\frac{1±4039}{4038}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±4039}{4038} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 4039.

$$x=\frac{4040}{4038}$$

Réduire la fraction \frac{4040}{4038} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{2020}{2019}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±4039}{4038} lorsque ± est négatif. Soustraire 4039 à 1.

$$x=-\frac{4038}{4038}$$

Diviser -4038 par 4038.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Soustraire x des deux côtés.

$$2019x^{2}-x=2020$$

Divisez les deux côtés par 2019.

$$\frac{2019x^{2}-x}{2019}=\frac{2020}{2019}$$

La division par 2019 annule la multiplication par 2019.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x=\frac{2020}{2019}$$

Divisez -\frac{1}{2019}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{4038}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{4038} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\left(-\frac{1}{4038}\right)^{2}=\frac{2020}{2019}+\left(-\frac{1}{4038}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{4038} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}=\frac{2020}{2019}+\frac{1}{16305444}$$

Additionner \frac{2020}{2019} et \frac{1}{16305444} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}=\frac{16313521}{16305444}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{2019}x+\frac{1}{16305444}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4038}\right)^{2}=\frac{16313521}{16305444}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4038}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16313521}{16305444}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{4038}=\frac{4039}{4038} x-\frac{1}{4038}=-\frac{4039}{4038}$$

Ajouter \frac{1}{4038} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{2020}{2019} x=-1$$