Résoudre 200n^2+30n+1

$$200 n ^ { 2 } + 30 n + 1$$

Factoriser

$$\left(10n+1\right)\left(20n+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 200n^{2}+an+bn+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=30 ab=200\times 1=200$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

La solution est la paire qui donne la somme 30.

$$a=10 b=20$$

Réécrire 200n^{2}+30n+1 en tant qu’\left(200n^{2}+10n\right)+\left(20n+1\right).

$$\left(200n^{2}+10n\right)+\left(20n+1\right)$$

Factoriser 10n dans 200n^{2}+10n.

$$10n\left(20n+1\right)+20n+1$$

Factoriser le facteur commun 20n+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$200n^{2}+30n+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 200}}{2\times 200}$$

Calculer le carré de 30.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 200}}{2\times 200}$$

Multiplier -4 par 200.

$$n=\frac{-30±\sqrt{900-800}}{2\times 200}$$

Additionner 900 et -800.

$$n=\frac{-30±\sqrt{100}}{2\times 200}$$

Extraire la racine carrée de 100.

$$n=\frac{-30±10}{2\times 200}$$

Multiplier 2 par 200.

$$n=\frac{-30±10}{400}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-30±10}{400} lorsque ± est positif. Additionner -30 et 10.

$$n=-\frac{20}{400}$$

Réduire la fraction \frac{-20}{400} au maximum en extrayant et en annulant 20.

$$n=-\frac{1}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-30±10}{400} lorsque ± est négatif. Soustraire 10 à -30.

$$n=-\frac{40}{400}$$

Réduire la fraction \frac{-40}{400} au maximum en extrayant et en annulant 40.

$$n=-\frac{1}{10}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{1}{20} par x_{1} et -\frac{1}{10} par x_{2}.

$$200n^{2}+30n+1=200\left(n-\left(-\frac{1}{20}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{1}{10}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$200n^{2}+30n+1=200\left(n+\frac{1}{20}\right)\left(n+\frac{1}{10}\right)$$

Additionner \frac{1}{20} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{20n+1}{20}\left(n+\frac{1}{10}\right)$$

Additionner \frac{1}{10} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{20n+1}{20}\times \frac{10n+1}{10}$$

Multiplier \frac{20n+1}{20} par \frac{10n+1}{10} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)}{20\times 10}$$

Multiplier 20 par 10.

$$200n^{2}+30n+1=200\times \frac{\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)}{200}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 200 dans 200 et 200.

$$200n^{2}+30n+1=\left(20n+1\right)\left(10n+1\right)$$

Évaluer

$$\left(10n+1\right)\left(20n+1\right)$$