Résoudre 20y^2+y-1

$$20 y ^ { 2 } + y - 1$$

Factoriser

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 20y^{2}+ay+by-1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-4 b=5$$

Réécrire 20y^{2}+y-1 en tant qu’\left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right).

$$\left(20y^{2}-4y\right)+\left(5y-1\right)$$

Factoriser 4y dans 20y^{2}-4y.

$$4y\left(5y-1\right)+5y-1$$

Factoriser le facteur commun 5y-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$20y^{2}+y-1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Calculer le carré de 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplier -4 par 20.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplier -80 par -1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Additionner 1 et 80.

$$y=\frac{-1±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$y=\frac{-1±9}{2\times 20}$$

Multiplier 2 par 20.

$$y=\frac{-1±9}{40}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-1±9}{40} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 9.

$$y=\frac{8}{40}$$

Réduire la fraction \frac{8}{40} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$y=\frac{1}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-1±9}{40} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à -1.

$$y=-\frac{10}{40}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{40} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$y=-\frac{1}{4}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez \frac{1}{5} par x_{1} et -\frac{1}{4} par x_{2}.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$20y^{2}+y-1=20\left(y-\frac{1}{5}\right)\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Soustraire \frac{1}{5} de y en trouvant un dénominateur commun et en soustrayant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\left(y+\frac{1}{4}\right)$$

Additionner \frac{1}{4} et y en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{5y-1}{5}\times \frac{4y+1}{4}$$

Multiplier \frac{5y-1}{5} par \frac{4y+1}{4} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{5\times 4}$$

Multiplier 5 par 4.

$$20y^{2}+y-1=20\times \frac{\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)}{20}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 20 dans 20 et 20.

$$20y^{2}+y-1=\left(5y-1\right)\left(4y+1\right)$$

Évaluer

$$20y^{2}+y-1$$