Résoudre 2y^2+y-5=0

$$2 y ^ { 2 } + y - 5 = 0$$

Calculer y

$$y = \frac{\sqrt{41} - 1}{4} \approx 1,350781059$$

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}\approx -1,850781059$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 1 à b et -5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 1.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -5.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+40}}{2\times 2}$$

Additionner 1 et 40.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} lorsque ± est positif. Additionner -1 et \sqrt{41}.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-1±\sqrt{41}}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{41} à -1.

$$y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+y-5=0$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$2y^{2}+y-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

La soustraction de -5 de lui-même donne 0.

$$2y^{2}+y=-\left(-5\right)$$

Soustraire -5 à 0.

$$2y^{2}+y=5$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2y^{2}+y}{2}=\frac{5}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Divisez \frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{5}{2}+\frac{1}{16}$$

Additionner \frac{5}{2} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}=\frac{41}{16}$$

Factor y^{2}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{41}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{16}}$$

Simplifier.

$$y+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{41}}{4} y+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{41}}{4}$$

Soustraire \frac{1}{4} des deux côtés de l’équation.

$$y=\frac{\sqrt{41}-1}{4} y=\frac{-\sqrt{41}-1}{4}$$