Résoudre 2x^4-5x^3+4x^2-5x+2

$$2 x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } - 5 x + 2$$

Factoriser

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Étapes de la solution

Pour factoriser l’expression, résolvez l’équation où elle est égale à 0.

$$2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 2 et q divise le 2 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±1,±2,±\frac{1}{2}$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=2$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 2x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+2 par x-2 pour obtenir 2x^{3}-x^{2}+2x-1. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$2x^{3}-x^{2}+2x-1=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -1 et q divise le 2 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{2},±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=\frac{1}{2}$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 2x^{3}-x^{2}+2x-1 par 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 pour obtenir x^{2}+1. Pour factoriser le résultat, résolvez l’équation où il est égal à 0.

$$x^{2}+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 0 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{0±\sqrt{-4}}{2}$$

Le x^{2}+1 polynomiale n’est pas pris en compte, car il ne possède pas de racines Rational.

$$x^{2}+1$$

Réécrivez l'expression factorisée à l'aide des racines obtenues.

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$

Évaluer

$$\left(x-2\right)\left(2x-1\right)\left(x^{2}+1\right)$$