Résoudre 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Ajouter 5 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

La soustraction de -5 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Soustraire -5 à -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -3 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Additionner 9 et -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de -23.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

L’inverse de -3 est 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} lorsque ± est positif. Additionner 3 et i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{23} à 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Ajouter 1 aux deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

La soustraction de -1 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Soustraire -1 à -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Diviser -4 par 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Additionner -2 et \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$