Résoudre 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Calculer x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, 5 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Résoudre l’équation x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Pour que le produit soit négatif, x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} et x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} doivent être des signes opposés. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} est positif et x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} négatif.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} est positif et x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} négatif.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$