Résoudre 2r^2-r-3=0

$$2 r ^ { 2 } - r - 3 = 0$$

Calculer r

$$r=-1$$

$$r = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2r^{2}+ar+br-3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=-3 b=2$$

Réécrire 2r^{2}-r-3 en tant qu’\left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right).

$$\left(2r^{2}-3r\right)+\left(2r-3\right)$$

Factoriser r dans 2r^{2}-3r.

$$r\left(2r-3\right)+2r-3$$

Factoriser le facteur commun 2r-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(2r-3\right)\left(r+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2r-3=0 et r+1=0.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2r^{2}-r-3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -1 à b et -3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -3.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\times 2}$$

Additionner 1 et 24.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 25.

$$r=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\times 2}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$r=\frac{1±5}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$r=\frac{1±5}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{1±5}{4} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 5.

$$r=\frac{6}{4}$$

Réduire la fraction \frac{6}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$r=\frac{3}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation r=\frac{1±5}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 5 à 1.

$$r=-\frac{4}{4}$$

Diviser -4 par 4.

$$r=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}-r-3=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$2r^{2}-r-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

La soustraction de -3 de lui-même donne 0.

$$2r^{2}-r=-\left(-3\right)$$

Soustraire -3 à 0.

$$2r^{2}-r=3$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2r^{2}-r}{2}=\frac{3}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r=\frac{3}{2}$$

Divisez -\frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Additionner \frac{3}{2} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor r^{2}-\frac{1}{2}r+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(r-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplifier.

$$r-\frac{1}{4}=\frac{5}{4} r-\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Ajouter \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$r=\frac{3}{2} r=-1$$