Résoudre 2x^2+x+3=0

$$2 { x }^{ 2 } +x+3=0$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}\approx -0,25+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}\approx -0,25-1,198957881i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, 1 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\times 3}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par 3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24}}{2\times 2}$$

Additionner 1 et -24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de -23.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} lorsque ± est positif. Additionner -1 et i\sqrt{23}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{23}i}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire i\sqrt{23} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x+3=0$$

Soustraire 3 des deux côtés de l’équation.

$$2x^{2}+x+3-3=-3$$

La soustraction de 3 de lui-même donne 0.

$$2x^{2}+x=-3$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=-\frac{3}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=-\frac{3}{2}$$

Divisez \frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Additionner -\frac{3}{2} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{23}{16}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Soustraire \frac{1}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-1+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i-1}{4}$$