Résoudre 16x^2-24x+9=0

$$16 x ^ { 2 } - 24 x + 9 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 16x^{2}+ax+bx+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-24 ab=16\times 9=144$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

La solution est la paire qui donne la somme -24.

$$a=-12 b=-12$$

Réécrire 16x^{2}-24x+9 en tant qu’\left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right).

$$\left(16x^{2}-12x\right)+\left(-12x+9\right)$$

Factorisez 4x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(4x-3\right)-3\left(4x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-3\right)\left(4x-3\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(4x-3\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez 4x-3=0.

$$x=\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, -24 à b et 9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-64\times 9}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 16}$$

Additionner 576 et -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 16}$$

L’inverse de -24 est 24.

$$x=\frac{24}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{24}{32}$$

Réduire la fraction \frac{24}{32} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-24x+9=0$$

Soustraire 9 des deux côtés de l’équation.

$$16x^{2}-24x+9-9=-9$$

La soustraction de 9 de lui-même donne 0.

$$16x^{2}-24x=-9$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$\frac{16x^{2}-24x}{16}=-\frac{9}{16}$$

La division par 16 annule la multiplication par 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{16}\right)x=-\frac{9}{16}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{9}{16}$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{-9+9}{16}$$

Additionner -\frac{9}{16} et \frac{9}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=0$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{4}=0 x-\frac{3}{4}=0$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3}{4} x=\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=\frac{3}{4}$$