Résoudre 16x^2+8x-3=0

$$16 x ^ { 2 } + 8 x - 3 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 16x^{2}+ax+bx-3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=8 ab=16\left(-3\right)=-48$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 8.

$$a=-4 b=12$$

Réécrire 16x^{2}+8x-3 en tant qu’\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right).

$$\left(16x^{2}-4x\right)+\left(12x-3\right)$$

Factorisez 4x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$4x\left(4x-1\right)+3\left(4x-1\right)$$

Factoriser le facteur commun 4x-1 en utilisant la distributivité.

$$\left(4x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 4x-1=0 et 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, 8 à b et -3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64\left(-3\right)}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par -3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+192}}{2\times 16}$$

Additionner 64 et 192.

$$x=\frac{-8±\sqrt{256}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$x=\frac{-8±16}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{-8±16}{32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±16}{32} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 16.

$$x=\frac{8}{32}$$

Réduire la fraction \frac{8}{32} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=\frac{1}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-8±16}{32} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à -8.

$$x=-\frac{24}{32}$$

Réduire la fraction \frac{-24}{32} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x=-\frac{3}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+8x-3=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$16x^{2}+8x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

La soustraction de -3 de lui-même donne 0.

$$16x^{2}+8x=-\left(-3\right)$$

Soustraire -3 à 0.

$$16x^{2}+8x=3$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$\frac{16x^{2}+8x}{16}=\frac{3}{16}$$

La division par 16 annule la multiplication par 16.

$$x^{2}+\frac{8}{16}x=\frac{3}{16}$$

Réduire la fraction \frac{8}{16} au maximum en extrayant et en annulant 8.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{3}{16}$$

Divisez \frac{1}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{4}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{16}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3+1}{16}$$

Additionner \frac{3}{16} et \frac{1}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{1}{4}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}$$

Soustraire \frac{1}{4} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{3}{4}$$