Résoudre 15y^2+8y+1=0

$$15 y ^ { 2 } + 8 y + 1 = 0$$

Calculer y

$$y=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 15y^{2}+ay+by+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=8 ab=15\times 1=15$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 15.

$$1,15 3,5$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+15=16 3+5=8$$

La solution est la paire qui donne la somme 8.

$$a=3 b=5$$

Réécrire 15y^{2}+8y+1 en tant qu’\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(15y^{2}+3y\right)+\left(5y+1\right)$$

Factoriser 3y dans 15y^{2}+3y.

$$3y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Factoriser le facteur commun 5y+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(5y+1\right)\left(3y+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 5y+1=0 et 3y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 15 à a, 8 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 15}}{2\times 15}$$

Calculer le carré de 8.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 15}}{2\times 15}$$

Multiplier -4 par 15.

$$y=\frac{-8±\sqrt{64-60}}{2\times 15}$$

Additionner 64 et -60.

$$y=\frac{-8±\sqrt{4}}{2\times 15}$$

Extraire la racine carrée de 4.

$$y=\frac{-8±2}{2\times 15}$$

Multiplier 2 par 15.

$$y=\frac{-8±2}{30}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-8±2}{30} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 2.

$$y=-\frac{6}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-6}{30} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation y=\frac{-8±2}{30} lorsque ± est négatif. Soustraire 2 à -8.

$$y=-\frac{10}{30}$$

Réduire la fraction \frac{-10}{30} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$y=-\frac{1}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$15y^{2}+8y+1=0$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$15y^{2}+8y+1-1=-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$15y^{2}+8y=-1$$

Divisez les deux côtés par 15.

$$\frac{15y^{2}+8y}{15}=-\frac{1}{15}$$

La division par 15 annule la multiplication par 15.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y=-\frac{1}{15}$$

Divisez \frac{8}{15}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{15}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{15} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{1}{15}+\left(\frac{4}{15}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{15} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=-\frac{1}{15}+\frac{16}{225}$$

Additionner -\frac{1}{15} et \frac{16}{225} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}=\frac{1}{225}$$

Factor y^{2}+\frac{8}{15}y+\frac{16}{225}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}=\frac{1}{225}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(y+\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{225}}$$

Simplifier.

$$y+\frac{4}{15}=\frac{1}{15} y+\frac{4}{15}=-\frac{1}{15}$$

Soustraire \frac{4}{15} des deux côtés de l’équation.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{3}$$