Résoudre 12x^2+20x+7=0

$$12 x ^ { 2 } + 20 x + 7 = 0$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{6} = -1\frac{1}{6} \approx -1,166666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 12x^{2}+ax+bx+7. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=20 ab=12\times 7=84$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 84.

$$1,84 2,42 3,28 4,21 6,14 7,12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+84=85 2+42=44 3+28=31 4+21=25 6+14=20 7+12=19$$

La solution est la paire qui donne la somme 20.

$$a=6 b=14$$

Réécrire 12x^{2}+20x+7 en tant qu’\left(12x^{2}+6x\right)+\left(14x+7\right).

$$\left(12x^{2}+6x\right)+\left(14x+7\right)$$

Factorisez 6x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$6x\left(2x+1\right)+7\left(2x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x+1\right)\left(6x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x+1=0 et 6x+7=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{6}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$12x^{2}+20x+7=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 12 à a, 20 à b et 7 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 12\times 7}}{2\times 12}$$

Calculer le carré de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 12\times 7}}{2\times 12}$$

Multiplier -4 par 12.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-48\times 7}}{2\times 12}$$

Multiplier -48 par 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-336}}{2\times 12}$$

Additionner 400 et -336.

$$x=\frac{-20±\sqrt{64}}{2\times 12}$$

Extraire la racine carrée de 64.

$$x=\frac{-20±8}{2\times 12}$$

Multiplier 2 par 12.

$$x=\frac{-20±8}{24}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-20±8}{24} lorsque ± est positif. Additionner -20 et 8.

$$x=-\frac{12}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-12}{24} au maximum en extrayant et en annulant 12.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-20±8}{24} lorsque ± est négatif. Soustraire 8 à -20.

$$x=-\frac{28}{24}$$

Réduire la fraction \frac{-28}{24} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=-\frac{7}{6}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{6}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+20x+7=0$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$12x^{2}+20x+7-7=-7$$

La soustraction de 7 de lui-même donne 0.

$$12x^{2}+20x=-7$$

Divisez les deux côtés par 12.

$$\frac{12x^{2}+20x}{12}=-\frac{7}{12}$$

La division par 12 annule la multiplication par 12.

$$x^{2}+\frac{20}{12}x=-\frac{7}{12}$$

Réduire la fraction \frac{20}{12} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{7}{12}$$

Divisez \frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{7}{12}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{7}{12}+\frac{25}{36}$$

Additionner -\frac{7}{12} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{3} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{3}$$

Soustraire \frac{5}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{7}{6}$$