Résoudre 11x^2-9x+1>0

$$11 { x }^{ 2 } -9x+1 > 0$$

Calculer x

$$x\in \left(-\infty,\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{37}+9}{22},\infty\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$11x^{2}-9x+1=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 11 pour a, -9 pour b et 1 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 11\times 1}}{2\times 11}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{9±\sqrt{37}}{22}$$

Résoudre l’équation x=\frac{9±\sqrt{37}}{22} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{37}+9}{22} x=\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$11\left(x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}\right)\left(x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}\right)>0$$

Pour que le produit soit positif, x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} et x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} doivent être à la fois négatives ou les deux positives. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} et x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} sont tous les deux négatifs.

$$x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}<0 x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{37}+9}{22} et x-\frac{9-\sqrt{37}}{22} sont tous les deux positifs.

$$x-\frac{9-\sqrt{37}}{22}>0 x-\frac{\sqrt{37}+9}{22}>0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}.

$$x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x<\frac{9-\sqrt{37}}{22}\text{; }x>\frac{\sqrt{37}+9}{22}$$