Résoudre 10n^2+53n+36

$$10 n ^ { 2 } + 53 n + 36$$

Factoriser

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$

Étapes de la solution

Factorisez l’expression par regroupement. L’expression doit d’abord être réécrite sous la forme 10n^{2}+an+bn+36. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=53 ab=10\times 36=360$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

La solution est la paire qui donne la somme 53.

$$a=8 b=45$$

Réécrire 10n^{2}+53n+36 en tant qu’\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right).

$$\left(10n^{2}+8n\right)+\left(45n+36\right)$$

Factorisez 2n du premier et 9 dans le deuxième groupe.

$$2n\left(5n+4\right)+9\left(5n+4\right)$$

Factoriser le facteur commun 5n+4 en utilisant la distributivité.

$$\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$10n^{2}+53n+36=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$n=\frac{-53±\sqrt{53^{2}-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Calculer le carré de 53.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-4\times 10\times 36}}{2\times 10}$$

Multiplier -4 par 10.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-40\times 36}}{2\times 10}$$

Multiplier -40 par 36.

$$n=\frac{-53±\sqrt{2809-1440}}{2\times 10}$$

Additionner 2809 et -1440.

$$n=\frac{-53±\sqrt{1369}}{2\times 10}$$

Extraire la racine carrée de 1369.

$$n=\frac{-53±37}{2\times 10}$$

Multiplier 2 par 10.

$$n=\frac{-53±37}{20}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-53±37}{20} lorsque ± est positif. Additionner -53 et 37.

$$n=-\frac{16}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{20} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$n=-\frac{4}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation n=\frac{-53±37}{20} lorsque ± est négatif. Soustraire 37 à -53.

$$n=-\frac{90}{20}$$

Réduire la fraction \frac{-90}{20} au maximum en extrayant et en annulant 10.

$$n=-\frac{9}{2}$$

Factorisez l’expression d’origine à l’aide de ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Remplacez -\frac{4}{5} par x_{1} et -\frac{9}{2} par x_{2}.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)\left(n-\left(-\frac{9}{2}\right)\right)$$

Simplifiez toutes les expressions de la forme p-\left(-q\right) en p+q.

$$10n^{2}+53n+36=10\left(n+\frac{4}{5}\right)\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Additionner \frac{4}{5} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\left(n+\frac{9}{2}\right)$$

Additionner \frac{9}{2} et n en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{5n+4}{5}\times \frac{2n+9}{2}$$

Multiplier \frac{5n+4}{5} par \frac{2n+9}{2} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{5\times 2}$$

Multiplier 5 par 2.

$$10n^{2}+53n+36=10\times \frac{\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)}{10}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 10 dans 10 et 10.

$$10n^{2}+53n+36=\left(5n+4\right)\left(2n+9\right)$$

Évaluer

$$\left(2n+9\right)\left(5n+4\right)$$