Résoudre 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Calculer t

$$t=1$$

$$t=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Divisez les deux côtés par 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -t^{2}+at+bt-2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=2 b=1$$

Réécrire -t^{2}+3t-2 en tant qu’\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Factoriser -t dans -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Factoriser le facteur commun t-2 en utilisant la distributivité.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez t-2=0 et -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -16 à a, 48 à b et -32 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Calculer le carré de 48.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier -4 par -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 64 par -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Additionner 2304 et -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Multiplier 2 par -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-48±16}{-32} lorsque ± est positif. Additionner -48 et 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Diviser -32 par -32.

$$t=1$$

Résolvez maintenant l’équation t=\frac{-48±16}{-32} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Diviser -64 par -32.

$$t=2$$

L’équation est désormais résolue.

$$t=1 t=2$$

Étapes de l’élévation au carré

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Ajouter 32 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Divisez les deux côtés par -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

La division par -16 annule la multiplication par -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Diviser 48 par -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Diviser 32 par -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Divisez -3, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Additionner -2 et \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifier.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Ajouter \frac{3}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$t=2 t=1$$