Résoudre -3x^2-8x+16=0

$$-3 { x }^{ 2 } -8x+16=0$$

Calculer x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=-4$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3x^{2}+ax+bx+16. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=-3\times 16=-48$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=4 b=-12$$

Réécrire -3x^{2}-8x+16 en tant qu’\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Factorisez -x du premier et -4 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-4\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-4=0 et -x-4=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, -8 à b et 16 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 16}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+192}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 64 et 192.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±16}{2\left(-3\right)}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8±16}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{8±16}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±16}{-6} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 16.

$$x=\frac{24}{-6}$$

Diviser 24 par -6.

$$x=-4$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±16}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à 8.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{-6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-4 x=\frac{4}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-8x+16=0$$

Soustraire 16 des deux côtés de l’équation.

$$-3x^{2}-8x+16-16=-16$$

La soustraction de 16 de lui-même donne 0.

$$-3x^{2}-8x=-16$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{16}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{16}{-3}$$

Diviser -8 par -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{16}{-3}$$

Diviser -16 par -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Divisez \frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Additionner \frac{16}{3} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Soustraire \frac{4}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{3} x=-4$$