Résoudre -3x^2-5x+12=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 5 x + 12 = 0$$

Calculer x

$$x=-3$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3x^{2}+ax+bx+12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=-3\times 12=-36$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=4 b=-9$$

Réécrire -3x^{2}-5x+12 en tant qu’\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right).

$$\left(-3x^{2}+4x\right)+\left(-9x+12\right)$$

Factorisez -x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(3x-4\right)-3\left(3x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-4\right)\left(-x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-4=0 et -x-3=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, -5 à b et 12 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-3\right)\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+12\times 12}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par 12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 25 et 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-3\right)}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{5±13}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±13}{-6} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 13.

$$x=\frac{18}{-6}$$

Diviser 18 par -6.

$$x=-3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±13}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à 5.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

Réduire la fraction \frac{-8}{-6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-3 x=\frac{4}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-5x+12=0$$

Soustraire 12 des deux côtés de l’équation.

$$-3x^{2}-5x+12-12=-12$$

La soustraction de 12 de lui-même donne 0.

$$-3x^{2}-5x=-12$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3x^{2}-5x}{-3}=-\frac{12}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-3}\right)x=-\frac{12}{-3}$$

Diviser -5 par -3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{12}{-3}$$

Diviser -12 par -3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=4$$

Divisez \frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

Additionner 4 et \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

Soustraire \frac{5}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{3} x=-3$$