Résoudre -3x^2+5x+2geq0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x + 2 \geq 0$$

Calculer x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier l’inégalité par -1 pour rendre le coefficient à la plus haute puissance dans -3x^{2}+5x+2 positif. Étant donné que -1 est négatif, la direction d’inégalité est modifiée.

$$3x^{2}-5x-2\leq 0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-5x-2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 3 pour a, -5 pour b et -2 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-2\right)}}{2\times 3}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{5±7}{6}$$

Résoudre l’équation x=\frac{5±7}{6} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=2 x=-\frac{1}{3}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$3\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)\leq 0$$

Pour que le produit soit ≤0, l’une des valeurs x-2 et x+\frac{1}{3} doit être ≥0 et l’autre doit être ≤0. Examinons le cas lorsque x-2\geq 0 et x+\frac{1}{3}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{1}{3}\leq 0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Examinons le cas lorsque x-2\leq 0 et x+\frac{1}{3}\geq 0.

$$x+\frac{1}{3}\geq 0 x-2\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left[-\frac{1}{3},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{1}{3},2\end{bmatrix}$$