Résoudre -14x^2+x+4=0

$$- 14 x ^ { 2 } + x + 4 = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{4}{7}\approx 0,571428571$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -14x^{2}+ax+bx+4. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=-14\times 4=-56$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -56.

$$-1,56 -2,28 -4,14 -7,8$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+56=55 -2+28=26 -4+14=10 -7+8=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=8 b=-7$$

Réécrire -14x^{2}+x+4 en tant qu’\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+8x\right)+\left(-7x+4\right)$$

Factoriser 2x dans -14x^{2}+8x.

$$2x\left(-7x+4\right)-7x+4$$

Factoriser le facteur commun -7x+4 en utilisant la distributivité.

$$\left(-7x+4\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -7x+4=0 et 2x+1=0.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -14 à a, 1 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier -4 par -14.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier 56 par 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+224}}{2\left(-14\right)}$$

Additionner 1 et 224.

$$x=\frac{-1±\sqrt{225}}{2\left(-14\right)}$$

Extraire la racine carrée de 225.

$$x=\frac{-1±15}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier 2 par -14.

$$x=\frac{-1±15}{-28}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±15}{-28} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 15.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Réduire la fraction \frac{14}{-28} au maximum en extrayant et en annulant 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±15}{-28} lorsque ± est négatif. Soustraire 15 à -1.

$$x=-\frac{16}{-28}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{-28} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{4}{7}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{4}{7}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}+x+4=0$$

Soustraire 4 des deux côtés de l’équation.

$$-14x^{2}+x+4-4=-4$$

La soustraction de 4 de lui-même donne 0.

$$-14x^{2}+x=-4$$

Divisez les deux côtés par -14.

$$\frac{-14x^{2}+x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

La division par -14 annule la multiplication par -14.

$$x^{2}+\frac{1}{-14}x=-\frac{4}{-14}$$

Diviser 1 par -14.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{-14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x=\frac{2}{7}$$

Divisez -\frac{1}{14}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{28}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{28} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(-\frac{1}{28}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{28} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{2}{7}+\frac{1}{784}$$

Additionner \frac{2}{7} et \frac{1}{784} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}=\frac{225}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{14}x+\frac{1}{784}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}=\frac{225}{784}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{784}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{28}=\frac{15}{28} x-\frac{1}{28}=-\frac{15}{28}$$

Ajouter \frac{1}{28} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{7} x=-\frac{1}{2}$$