Résoudre (x-1/4)^2leq25/16

$$( x - \frac { 1 } { 4 } ) ^ { 2 } \leq \frac { 25 } { 16 }$$

Calculer x

$$x\in \begin{bmatrix}-1,\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

Étapes de la solution

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, -\frac{1}{2} pour b et -\frac{3}{2} pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times 1\left(-\frac{3}{2}\right)}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{5}{2}}{2}$$

Résoudre l’équation x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{5}{2}}{2} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{3}{2} x=-1$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)\left(x+1\right)\leq 0$$

Pour que le produit soit ≤0, l’une des valeurs x-\frac{3}{2} et x+1 doit être ≥0 et l’autre doit être ≤0. Examinons le cas lorsque x-\frac{3}{2}\geq 0 et x+1\leq 0.

$$x-\frac{3}{2}\geq 0 x+1\leq 0$$

Il a la valeur false pour tout x.

$$x\in \emptyset$$

Examinons le cas lorsque x-\frac{3}{2}\leq 0 et x+1\geq 0.

$$x+1\geq 0 x-\frac{3}{2}\leq 0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x\in \left[-1,\frac{3}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-1,\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x\in \begin{bmatrix}-1,\frac{3}{2}\end{bmatrix}$$