Résoudre (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Calculer x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Considérer \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Étendre \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calculer 3 à la puissance 2 et obtenir 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combiner x^{2} et 9x^{2} pour obtenir 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Soustraire 64 de 9 pour obtenir -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Additionner -55 et 1 pour obtenir -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combiner 10x^{2} et -3x^{2} pour obtenir 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Soustraire 9x des deux côtés.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combiner 6x et -9x pour obtenir -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Soustraire 18 des deux côtés.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Soustraire 18 de -54 pour obtenir -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 7x^{2}+ax+bx-72. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

La solution est la paire qui donne la somme -3.

$$a=-24 b=21$$

Réécrire 7x^{2}-3x-72 en tant qu’\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Factorisez x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Factoriser le facteur commun 7x-24 en utilisant la distributivité.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 7x-24=0 et x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Considérer \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Étendre \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calculer 3 à la puissance 2 et obtenir 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combiner x^{2} et 9x^{2} pour obtenir 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Soustraire 64 de 9 pour obtenir -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Additionner -55 et 1 pour obtenir -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combiner 10x^{2} et -3x^{2} pour obtenir 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Soustraire 9x des deux côtés.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combiner 6x et -9x pour obtenir -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Soustraire 18 des deux côtés.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Soustraire 18 de -54 pour obtenir -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 7 à a, -3 à b et -72 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Calculer le carré de -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -4 par 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Multiplier -28 par -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Additionner 9 et 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Extraire la racine carrée de 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

L’inverse de -3 est 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Multiplier 2 par 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±45}{14} lorsque ± est positif. Additionner 3 et 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Réduire la fraction \frac{48}{14} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{3±45}{14} lorsque ± est négatif. Soustraire 45 à 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Diviser -42 par 14.

$$x=-3$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Considérer \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Étendre \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calculer 3 à la puissance 2 et obtenir 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combiner x^{2} et 9x^{2} pour obtenir 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Soustraire 64 de 9 pour obtenir -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Additionner -55 et 1 pour obtenir -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combiner 10x^{2} et -3x^{2} pour obtenir 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Soustraire 9x des deux côtés.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combiner 6x et -9x pour obtenir -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Ajouter 54 aux deux côtés.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Additionner 18 et 54 pour obtenir 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Divisez les deux côtés par 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

La division par 7 annule la multiplication par 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Divisez -\frac{3}{7}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{14}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{14} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{14} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Additionner \frac{72}{7} et \frac{9}{196} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Ajouter \frac{3}{14} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$