Résoudre (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Calculer x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Ajouter 10x aux deux côtés.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combiner 4x et 10x pour obtenir 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Soustraire 25 des deux côtés.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Soustraire 25 de 1 pour obtenir -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx-24. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 14.

$$a=-4 b=18$$

Réécrire 3x^{2}+14x-24 en tant qu’\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Factorisez x du premier et 6 dans le deuxième groupe.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x-4 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x-4=0 et x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Ajouter 10x aux deux côtés.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combiner 4x et 10x pour obtenir 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Soustraire 25 des deux côtés.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Soustraire 25 de 1 pour obtenir -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 14 à b et -24 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 14.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Additionner 196 et 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-14±22}{6} lorsque ± est positif. Additionner -14 et 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Réduire la fraction \frac{8}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-14±22}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 22 à -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Diviser -36 par 6.

$$x=-6$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combiner 4x^{2} et -x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Ajouter 10x aux deux côtés.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combiner 4x et 10x pour obtenir 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Soustraire 1 de 25 pour obtenir 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Diviser 24 par 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Divisez \frac{14}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{7}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{7}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{7}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Additionner 8 et \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Soustraire \frac{7}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$