Résoudre left(3x+5right)^2+5left(3x+5right)+6=0

$${ \left(3x+5 \right) }^{ 2 } +5 \left( 3x+5 \right) +6=0$$

Calculer x

$$x = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Combiner 30x et 15x pour obtenir 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Additionner 25 et 25 pour obtenir 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Additionner 50 et 6 pour obtenir 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 9x^{2}+ax+bx+56. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=45 ab=9\times 56=504$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 504.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

La solution est la paire qui donne la somme 45.

$$a=21 b=24$$

Réécrire 9x^{2}+45x+56 en tant qu’\left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right).

$$\left(9x^{2}+21x\right)+\left(24x+56\right)$$

Factorisez 3x du premier et 8 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(3x+7\right)+8\left(3x+7\right)$$

Factoriser le facteur commun 3x+7 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+7\right)\left(3x+8\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+7=0 et 3x+8=0.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Combiner 30x et 15x pour obtenir 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Additionner 25 et 25 pour obtenir 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Additionner 50 et 6 pour obtenir 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, 45 à b et 56 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de 45.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 9\times 56}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-36\times 56}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 56.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-2016}}{2\times 9}$$

Additionner 2025 et -2016.

$$x=\frac{-45±\sqrt{9}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 9.

$$x=\frac{-45±3}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{-45±3}{18}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-45±3}{18} lorsque ± est positif. Additionner -45 et 3.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-42}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-45±3}{18} lorsque ± est négatif. Soustraire 3 à -45.

$$x=-\frac{48}{18}$$

Réduire la fraction \frac{-48}{18} au maximum en extrayant et en annulant 6.

$$x=-\frac{8}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25+5\left(3x+5\right)+6=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par 3x+5.

$$9x^{2}+30x+25+15x+25+6=0$$

Combiner 30x et 15x pour obtenir 45x.

$$9x^{2}+45x+25+25+6=0$$

Additionner 25 et 25 pour obtenir 50.

$$9x^{2}+45x+50+6=0$$

Additionner 50 et 6 pour obtenir 56.

$$9x^{2}+45x+56=0$$

Soustraire 56 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$9x^{2}+45x=-56$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}+45x}{9}=-\frac{56}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\frac{45}{9}x=-\frac{56}{9}$$

Diviser 45 par 9.

$$x^{2}+5x=-\frac{56}{9}$$

Divisez 5, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{56}{9}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-\frac{56}{9}+\frac{25}{4}$$

Additionner -\frac{56}{9} et \frac{25}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{2}=-\frac{1}{6}$$

Soustraire \frac{5}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{7}{3} x=-\frac{8}{3}$$