Résoudre sqrt{x+3}=sqrt{5x}-1

$$\sqrt{ x+3 } = \sqrt{ 5x } -1$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 9}{8} \approx 2,132782219$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+3} à la puissance 2 et obtenir x+3.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}\right)^{2}-2\sqrt{5x}+1$$

Calculer \sqrt{5x} à la puissance 2 et obtenir 5x.

$$x+3=5x-2\sqrt{5x}+1$$

Soustraire 5x+1 des deux côtés de l’équation.

$$x+3-\left(5x+1\right)=-2\sqrt{5x}$$

Pour trouver l’opposé de 5x+1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x+3-5x-1=-2\sqrt{5x}$$

Combiner x et -5x pour obtenir -4x.

$$-4x+3-1=-2\sqrt{5x}$$

Soustraire 1 de 3 pour obtenir 2.

$$-4x+2=-2\sqrt{5x}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-4x+2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-4x+2\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$16x^{2}-16x+4=4\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5x} à la puissance 2 et obtenir 5x.

$$16x^{2}-16x+4=4\times 5x$$

Multiplier 4 et 5 pour obtenir 20.

$$16x^{2}-16x+4=20x$$

Soustraire 20x des deux côtés.

$$16x^{2}-16x+4-20x=0$$

Combiner -16x et -20x pour obtenir -36x.

$$16x^{2}-36x+4=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 16 à a, -36 à b et 4 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Calculer le carré de -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Multiplier -4 par 16.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-64\times 4}}{2\times 16}$$

Multiplier -64 par 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-256}}{2\times 16}$$

Additionner 1296 et -256.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1040}}{2\times 16}$$

Extraire la racine carrée de 1040.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

L’inverse de -36 est 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

Multiplier 2 par 16.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} lorsque ± est positif. Additionner 36 et 4\sqrt{65}.

$$x=\frac{4\sqrt{65}+36}{32}$$

Diviser 36+4\sqrt{65} par 32.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{65} à 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{65}}{32}$$

Diviser 36-4\sqrt{65} par 32.

$$x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

Remplacez x par \frac{\sqrt{65}+9}{8} dans l’équation \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{9-\sqrt{65}}{8} dans l’équation \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{9-\sqrt{65}}{8}}-1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{9-\sqrt{65}}{8} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par \frac{\sqrt{65}+9}{8} dans l’équation \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

L’équation \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 a une solution unique.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$