Résoudre sqrt{7-2x}-sqrt{5+x}=sqrt{4+3x}

$$\sqrt{ 7-2x } - \sqrt{ 5+x } = \sqrt{ 4+3x }$$

Calculer x

$$x=-1$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{7-2x}\right)^{2}-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{7-2x} à la puissance 2 et obtenir 7-2x.

$$7-2x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5+x} à la puissance 2 et obtenir 5+x.

$$7-2x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+5+x=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Additionner 7 et 5 pour obtenir 12.

$$12-2x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}+x=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Combiner -2x et x pour obtenir -x.

$$12-x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=\left(\sqrt{4+3x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{4+3x} à la puissance 2 et obtenir 4+3x.

$$12-x-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=4+3x$$

Soustraire 12-x des deux côtés de l’équation.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=4+3x-\left(12-x\right)$$

Pour trouver l’opposé de 12-x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=4+3x-12+x$$

Soustraire 12 de 4 pour obtenir -8.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=-8+3x+x$$

Combiner 3x et x pour obtenir 4x.

$$-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}=-8+4x$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Étendre \left(-2\sqrt{7-2x}\sqrt{5+x}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{7-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Calculer -2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$4\left(\sqrt{7-2x}\right)^{2}\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{7-2x} à la puissance 2 et obtenir 7-2x.

$$4\left(7-2x\right)\left(\sqrt{5+x}\right)^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{5+x} à la puissance 2 et obtenir 5+x.

$$4\left(7-2x\right)\left(5+x\right)=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 7-2x.

$$\left(28-8x\right)\left(5+x\right)=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 28-8x par chaque terme de 5+x.

$$140+28x-40x-8x^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Combiner 28x et -40x pour obtenir -12x.

$$140-12x-8x^{2}=\left(-8+4x\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-8+4x\right)^{2}.

$$140-12x-8x^{2}=64-64x+16x^{2}$$

Soustraire 64 des deux côtés.

$$140-12x-8x^{2}-64=-64x+16x^{2}$$

Soustraire 64 de 140 pour obtenir 76.

$$76-12x-8x^{2}=-64x+16x^{2}$$

Ajouter 64x aux deux côtés.

$$76-12x-8x^{2}+64x=16x^{2}$$

Combiner -12x et 64x pour obtenir 52x.

$$76+52x-8x^{2}=16x^{2}$$

Soustraire 16x^{2} des deux côtés.

$$76+52x-8x^{2}-16x^{2}=0$$

Combiner -8x^{2} et -16x^{2} pour obtenir -24x^{2}.

$$76+52x-24x^{2}=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$19+13x-6x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -6x^{2}+ax+bx+19. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

La solution est la paire qui donne la somme 13.

$$a=19 b=-6$$

Réécrire -6x^{2}+13x+19 en tant qu’\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Factorisez -x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Factoriser le facteur commun 6x-19 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x-19=0 et -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Remplacez x par \frac{19}{6} dans l’équation \sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}=\sqrt{4+3x}.

$$\sqrt{7-2\times \frac{19}{6}}-\sqrt{5+\frac{19}{6}}=\sqrt{4+3\times \frac{19}{6}}$$

Simplifier. La valeur x=\frac{19}{6} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-\frac{5}{6}\times 6^{\frac{1}{2}}=\frac{3}{2}\times 6^{\frac{1}{2}}$$

Remplacez x par -1 dans l’équation \sqrt{7-2x}-\sqrt{5+x}=\sqrt{4+3x}.

$$\sqrt{7-2\left(-1\right)}-\sqrt{5-1}=\sqrt{4+3\left(-1\right)}$$

Simplifier. La valeur x=-1 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

L’équation -\sqrt{x+5}+\sqrt{7-2x}=\sqrt{3x+4} a une solution unique.

$$x=-1$$