Résoudre sqrt{x-1}-sqrt{2x-10}=2

$$\sqrt { x - 1 } - \sqrt { 2 x - 10 } = 2$$

Calculer x

$$x=5$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{2x-10} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x-1}=2+\sqrt{2x-10}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-1} à la puissance 2 et obtenir x-1.

$$x-1=\left(2+\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{2x-10}\right)^{2}.

$$x-1=4+4\sqrt{2x-10}+\left(\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-10} à la puissance 2 et obtenir 2x-10.

$$x-1=4+4\sqrt{2x-10}+2x-10$$

Soustraire 10 de 4 pour obtenir -6.

$$x-1=-6+4\sqrt{2x-10}+2x$$

Soustraire -6+2x des deux côtés de l’équation.

$$x-1-\left(-6+2x\right)=4\sqrt{2x-10}$$

Pour trouver l’opposé de -6+2x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x-1+6-2x=4\sqrt{2x-10}$$

Additionner -1 et 6 pour obtenir 5.

$$x+5-2x=4\sqrt{2x-10}$$

Combiner x et -2x pour obtenir -x.

$$-x+5=4\sqrt{2x-10}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-x+5\right)^{2}=\left(4\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(-x+5\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=\left(4\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Étendre \left(4\sqrt{2x-10}\right)^{2}.

$$x^{2}-10x+25=4^{2}\left(\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Calculer 4 à la puissance 2 et obtenir 16.

$$x^{2}-10x+25=16\left(\sqrt{2x-10}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-10} à la puissance 2 et obtenir 2x-10.

$$x^{2}-10x+25=16\left(2x-10\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par 2x-10.

$$x^{2}-10x+25=32x-160$$

Soustraire 32x des deux côtés.

$$x^{2}-10x+25-32x=-160$$

Combiner -10x et -32x pour obtenir -42x.

$$x^{2}-42x+25=-160$$

Ajouter 160 aux deux côtés.

$$x^{2}-42x+25+160=0$$

Additionner 25 et 160 pour obtenir 185.

$$x^{2}-42x+185=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-42x+185 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-42 ab=185$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 185.

$$-1,-185 -5,-37$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-185=-186 -5-37=-42$$

La solution est la paire qui donne la somme -42.

$$a=-37 b=-5$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-37\right)\left(x-5\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-37=0 et x-5=0.

$$x=37 x=5$$

Remplacez x par 37 dans l’équation \sqrt{x-1}-\sqrt{2x-10}=2.

$$\sqrt{37-1}-\sqrt{2\times 37-10}=2$$

Simplifier. La valeur x=37 ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-2=2$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{x-1}-\sqrt{2x-10}=2.

$$\sqrt{5-1}-\sqrt{2\times 5-10}=2$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

L’équation \sqrt{x-1}=\sqrt{2x-10}+2 a une solution unique.

$$x=5$$