Résoudre sqrt{x+7}-sqrt{13-x}=2

$$\sqrt { x + 7 } - \sqrt { 13 - x } = 2$$

Calculer x

$$x=9$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{13-x} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{13-x}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+7} à la puissance 2 et obtenir x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{13-x} à la puissance 2 et obtenir 13-x.

$$x+7=4+4\sqrt{13-x}+13-x$$

Additionner 4 et 13 pour obtenir 17.

$$x+7=17+4\sqrt{13-x}-x$$

Soustraire 17-x des deux côtés de l’équation.

$$x+7-\left(17-x\right)=4\sqrt{13-x}$$

Pour trouver l’opposé de 17-x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x+7-17+x=4\sqrt{13-x}$$

Soustraire 17 de 7 pour obtenir -10.

$$x-10+x=4\sqrt{13-x}$$

Combiner x et x pour obtenir 2x.

$$2x-10=4\sqrt{13-x}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(2x-10\right)^{2}=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2x-10\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=\left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Étendre \left(4\sqrt{13-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-40x+100=4^{2}\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculer 4 à la puissance 2 et obtenir 16.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(\sqrt{13-x}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{13-x} à la puissance 2 et obtenir 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=16\left(13-x\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 16 par 13-x.

$$4x^{2}-40x+100=208-16x$$

Soustraire 208 des deux côtés.

$$4x^{2}-40x+100-208=-16x$$

Soustraire 208 de 100 pour obtenir -108.

$$4x^{2}-40x-108=-16x$$

Ajouter 16x aux deux côtés.

$$4x^{2}-40x-108+16x=0$$

Combiner -40x et 16x pour obtenir -24x.

$$4x^{2}-24x-108=0$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x^{2}-6x-27=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx-27. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -27.

$$1,-27 3,-9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

La solution est la paire qui donne la somme -6.

$$a=-9 b=3$$

Réécrire x^{2}-6x-27 en tant qu’\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(3x-27\right)$$

Factorisez x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-9\right)+3\left(x-9\right)$$

Factoriser le facteur commun x-9 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-9\right)\left(x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-9=0 et x+3=0.

$$x=9 x=-3$$

Remplacez x par 9 dans l’équation \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifier. La valeur x=9 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

Remplacez x par -3 dans l’équation \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{-3+7}-\sqrt{13-\left(-3\right)}=2$$

Simplifier. La valeur x=-3 ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-2=2$$

Remplacez x par 9 dans l’équation \sqrt{x+7}-\sqrt{13-x}=2.

$$\sqrt{9+7}-\sqrt{13-9}=2$$

Simplifier. La valeur x=9 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

L’équation \sqrt{x+7}=\sqrt{13-x}+2 a une solution unique.

$$x=9$$