Résoudre sqrt{x+2}=x+1

$$\sqrt { x + 2 } = x + 1$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0,618033989$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}=\left(x+1\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+2} à la puissance 2 et obtenir x+2.

$$x+2=\left(x+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$x+2=x^{2}+2x+1$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+2-x^{2}=2x+1$$

Soustraire 2x des deux côtés.

$$x+2-x^{2}-2x=1$$

Combiner x et -2x pour obtenir -x.

$$-x+2-x^{2}=1$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$-x+2-x^{2}-1=0$$

Soustraire 1 de 2 pour obtenir 1.

$$-x+1-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -1 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 1 et \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{-2}$$

Diviser 1+\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{5} à 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{-2}$$

Diviser 1-\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Remplacez x par \frac{-\sqrt{5}-1}{2} dans l’équation \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{-\sqrt{5}-1}{2} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

Remplacez x par \frac{\sqrt{5}-1}{2} dans l’équation \sqrt{x+2}=x+1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}+2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$$

Simplifier. La valeur x=\frac{\sqrt{5}-1}{2} satisfait à l’équation.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}$$

L’équation \sqrt{x+2}=x+1 a une solution unique.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$