Résoudre sqrt{x+1}=sqrt{11x-8}-3sqrt{x-2}

$$\sqrt { x + 1 } = \sqrt { 11 x - 8 } - 3 \sqrt { x - 2 }$$

Calculer x

$$x=3$$

Étapes de la solution

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+1} à la puissance 2 et obtenir x+1.

$$x+1=\left(\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}\right)^{2}$$

Soustraire \left(\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}\right)^{2} des deux côtés.

$$x+1-\left(\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}\right)^{2}=0$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$x+1-\left(\left(\sqrt{11x-8}\right)^{2}-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}+9\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}\right)=0$$

Calculer \sqrt{11x-8} à la puissance 2 et obtenir 11x-8.

$$x+1-\left(11x-8-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}+9\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}\right)=0$$

Calculer \sqrt{x-2} à la puissance 2 et obtenir x-2.

$$x+1-\left(11x-8-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}+9\left(x-2\right)\right)=0$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 9 par x-2.

$$x+1-\left(11x-8-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}+9x-18\right)=0$$

Combiner 11x et 9x pour obtenir 20x.

$$x+1-\left(20x-8-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}-18\right)=0$$

Soustraire 18 de -8 pour obtenir -26.

$$x+1-\left(20x-26-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}\right)=0$$

Pour trouver l’opposé de 20x-26-6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x+1-20x+26+6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}=0$$

Combiner x et -20x pour obtenir -19x.

$$-19x+1+26+6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}=0$$

Additionner 1 et 26 pour obtenir 27.

$$-19x+27+6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}=0$$

Soustraire 27 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-19x+6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}=-27$$

Soustraire -19x des deux côtés de l’équation.

$$6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}=-27+19x$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}\right)^{2}=\left(19x-27\right)^{2}$$

Étendre \left(6\sqrt{11x-8}\sqrt{x-2}\right)^{2}.

$$6^{2}\left(\sqrt{11x-8}\right)^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}=\left(19x-27\right)^{2}$$

Calculer 6 à la puissance 2 et obtenir 36.

$$36\left(\sqrt{11x-8}\right)^{2}\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}=\left(19x-27\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{11x-8} à la puissance 2 et obtenir 11x-8.

$$36\left(11x-8\right)\left(\sqrt{x-2}\right)^{2}=\left(19x-27\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x-2} à la puissance 2 et obtenir x-2.

$$36\left(11x-8\right)\left(x-2\right)=\left(19x-27\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 36 par 11x-8.

$$\left(396x-288\right)\left(x-2\right)=\left(19x-27\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 396x-288 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$396x^{2}-1080x+576=\left(19x-27\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(19x-27\right)^{2}.

$$396x^{2}-1080x+576=361x^{2}-1026x+729$$

Soustraire 361x^{2} des deux côtés.

$$396x^{2}-1080x+576-361x^{2}=-1026x+729$$

Combiner 396x^{2} et -361x^{2} pour obtenir 35x^{2}.

$$35x^{2}-1080x+576=-1026x+729$$

Ajouter 1026x aux deux côtés.

$$35x^{2}-1080x+576+1026x=729$$

Combiner -1080x et 1026x pour obtenir -54x.

$$35x^{2}-54x+576=729$$

Soustraire 729 des deux côtés.

$$35x^{2}-54x+576-729=0$$

Soustraire 729 de 576 pour obtenir -153.

$$35x^{2}-54x-153=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 35x^{2}+ax+bx-153. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-54 ab=35\left(-153\right)=-5355$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -5355.

$$1,-5355 3,-1785 5,-1071 7,-765 9,-595 15,-357 17,-315 21,-255 35,-153 45,-119 51,-105 63,-85$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-5355=-5354 3-1785=-1782 5-1071=-1066 7-765=-758 9-595=-586 15-357=-342 17-315=-298 21-255=-234 35-153=-118 45-119=-74 51-105=-54 63-85=-22$$

La solution est la paire qui donne la somme -54.

$$a=-105 b=51$$

Réécrire 35x^{2}-54x-153 en tant qu’\left(35x^{2}-105x\right)+\left(51x-153\right).

$$\left(35x^{2}-105x\right)+\left(51x-153\right)$$

Factorisez 35x du premier et 51 dans le deuxième groupe.

$$35x\left(x-3\right)+51\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(35x+51\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et 35x+51=0.

$$x=3 x=-\frac{51}{35}$$

Remplacez x par -\frac{51}{35} dans l’équation \sqrt{x+1}=\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}. L’expression \sqrt{-\frac{51}{35}+1} n’est pas définie, car le radicand ne peut pas être négatif.

$$\sqrt{-\frac{51}{35}+1}=\sqrt{11\left(-\frac{51}{35}\right)-8}-3\sqrt{-\frac{51}{35}-2}$$

Remplacez x par 3 dans l’équation \sqrt{x+1}=\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2}.

$$\sqrt{3+1}=\sqrt{11\times 3-8}-3\sqrt{3-2}$$

Simplifier. La valeur x=3 satisfait à l’équation.

$$2=2$$

L’équation \sqrt{x+1}=\sqrt{11x-8}-3\sqrt{x-2} a une solution unique.

$$x=3$$