Résoudre sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Calculer x

$$x=5$$

$$x=1$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{2x-1} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{3x+1} à la puissance 2 et obtenir 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-1} à la puissance 2 et obtenir 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Soustraire 1 de 1 pour obtenir 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Soustraire 2x des deux côtés de l’équation.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Combiner 3x et -2x pour obtenir x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x-1} à la puissance 2 et obtenir 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Soustraire 8x des deux côtés.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Combiner 2x et -8x pour obtenir -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Additionner 1 et 4 pour obtenir 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-6x+5 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-6 ab=5$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-5 b=-1$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-5=0 et x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Remplacez x par 5 dans l’équation \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Simplifier. La valeur x=5 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

Remplacez x par 1 dans l’équation \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Simplifier. La valeur x=1 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1.

$$x=5 x=1$$