Résoudre sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{15+x^{2}} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{25-x^{2}} à la puissance 2 et obtenir 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{15+x^{2}} à la puissance 2 et obtenir 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Additionner 16 et 15 pour obtenir 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Soustraire 31+x^{2} des deux côtés de l’équation.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Pour trouver l’opposé de 31+x^{2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Soustraire 31 de 25 pour obtenir -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combiner -x^{2} et -x^{2} pour obtenir -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Étendre \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer 8 à la puissance 2 et obtenir 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{15+x^{2}} à la puissance 2 et obtenir 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 64 par 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Soustraire 960 des deux côtés.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Soustraire 960 de 36 pour obtenir -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Soustraire 64x^{2} des deux côtés.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combiner 24x^{2} et -64x^{2} pour obtenir -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Substituer t pour x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 4 pour a, -40 pour b et -924 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Résoudre l’équation t=\frac{40±128}{8} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=21 t=-11$$

Depuis x=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant x=±\sqrt{t} pour chaque t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Remplacez x par -\sqrt{21} dans l’équation \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifier. La valeur x=-\sqrt{21} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-4=4$$

Remplacez x par \sqrt{21} dans l’équation \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Simplifier. La valeur x=\sqrt{21} ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-4=4$$

Remplacez x par -\sqrt{11}i dans l’équation \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifier. La valeur x=-\sqrt{11}i satisfait à l’équation.

$$4=4$$

Remplacez x par \sqrt{11}i dans l’équation \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Simplifier. La valeur x=\sqrt{11}i satisfait à l’équation.

$$4=4$$

Répertoriez toutes les solutions de \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$