Résoudre sqrt{2x+2}-sqrt{x+8}=1

$$\sqrt { 2 x + 2 } - \sqrt { x + 8 } = 1$$

Calculer x

$$x=17$$

Étapes de la solution

Soustraire -\sqrt{x+8} des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{2x+2}=1+\sqrt{x+8}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(\sqrt{2x+2}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{2x+2} à la puissance 2 et obtenir 2x+2.

$$2x+2=\left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(1+\sqrt{x+8}\right)^{2}.

$$2x+2=1+2\sqrt{x+8}+\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+8} à la puissance 2 et obtenir x+8.

$$2x+2=1+2\sqrt{x+8}+x+8$$

Additionner 1 et 8 pour obtenir 9.

$$2x+2=9+2\sqrt{x+8}+x$$

Soustraire 9+x des deux côtés de l’équation.

$$2x+2-\left(9+x\right)=2\sqrt{x+8}$$

Pour trouver l’opposé de 9+x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x+2-9-x=2\sqrt{x+8}$$

Soustraire 9 de 2 pour obtenir -7.

$$2x-7-x=2\sqrt{x+8}$$

Combiner 2x et -x pour obtenir x.

$$x-7=2\sqrt{x+8}$$

Élever au carré les deux côtés de l’équation.

$$\left(x-7\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-7\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49=\left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Étendre \left(2\sqrt{x+8}\right)^{2}.

$$x^{2}-14x+49=2^{2}\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$x^{2}-14x+49=4\left(\sqrt{x+8}\right)^{2}$$

Calculer \sqrt{x+8} à la puissance 2 et obtenir x+8.

$$x^{2}-14x+49=4\left(x+8\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x+8.

$$x^{2}-14x+49=4x+32$$

Soustraire 4x des deux côtés.

$$x^{2}-14x+49-4x=32$$

Combiner -14x et -4x pour obtenir -18x.

$$x^{2}-18x+49=32$$

Soustraire 32 des deux côtés.

$$x^{2}-18x+49-32=0$$

Soustraire 32 de 49 pour obtenir 17.

$$x^{2}-18x+17=0$$

Pour résoudre l’équation, facteur x^{2}-18x+17 à l’aide de la x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) de formule. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-18 ab=17$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. La seule paire de ce type est la solution système.

$$a=-17 b=-1$$

Réécrivez l’expression factorisée \left(x+a\right)\left(x+b\right) à l’aide des valeurs obtenues.

$$\left(x-17\right)\left(x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-17=0 et x-1=0.

$$x=17 x=1$$

Remplacez x par 17 dans l’équation \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 17+2}-\sqrt{17+8}=1$$

Simplifier. La valeur x=17 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

Remplacez x par 1 dans l’équation \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 1+2}-\sqrt{1+8}=1$$

Simplifier. La valeur x=1 ne satisfait pas l’équation car le côté gauche et le côté droit ont des signes opposés.

$$-1=1$$

Remplacez x par 17 dans l’équation \sqrt{2x+2}-\sqrt{x+8}=1.

$$\sqrt{2\times 17+2}-\sqrt{17+8}=1$$

Simplifier. La valeur x=17 satisfait à l’équation.

$$1=1$$

L’équation \sqrt{2x+2}=\sqrt{x+8}+1 a une solution unique.

$$x=17$$