Résoudre ∫ (from 0 to 2 pi) of (cost+tsint)d(sint-tcost)

$$\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } ( \cos t + t \sin t ) d ( \sin t - t \cos t )$$

Évaluer

$$2\pi d\left(-t\cos(t)+\sin(t)\right)\left(t\sin(t)+\cos(t)\right)$$

Étapes de la solution

Évaluez l’intégrale indéfinie en premier.

$$\int \left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)\mathrm{d}x$$

Trouver l’intégralité de \left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right) à l’aide du tableau de la règle des intégraux communs \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)x$$

L’intégrale définie est la primitive de l'expression évaluée à la limite supérieure de l’intégration moins la primitive évaluée à la limite inférieure de l’intégration.

$$2\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)\pi +0\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)$$

Simplifier.

$$2\left(\cos(t)+t\sin(t)\right)d\left(\sin(t)-t\cos(t)\right)\pi$$

Différencier w.r.t. t

$$2\pi dt\left(\sin(t)\left(t\sin(t)+\cos(t)\right)+\cos(t)\left(-t\cos(t)+\sin(t)\right)\right)$$