Résoudre 2+3i/5-4i

$$\frac{ 2+3i }{ 5-4i }$$

Évaluer

$$-\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i\approx -0,048780488+0,56097561i$$

Étapes de la solution

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur, 5+4i.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{\left(5-4i\right)\left(5+4i\right)}$$

Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{5^{2}-4^{2}i^{2}}$$

Par définition, i^{2} est égal à -1. Calculez le dénominateur.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{41}$$

Multipliez les nombres complexes 2+3i et 5+4i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4i^{2}}{41}$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right)}{41}$$

Effectuez les multiplications dans 2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right).

$$\frac{10+8i+15i-12}{41}$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 10+8i+15i-12.

$$\frac{10-12+\left(8+15\right)i}{41}$$

Effectuez les additions dans 10-12+\left(8+15\right)i.

$$\frac{-2+23i}{41}$$

Diviser -2+23i par 41 pour obtenir -\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i.

$$-\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i$$

Partie réelle

$$-\frac{2}{41} = -0,04878048780487805$$

Étapes de la solution

Multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{2+3i}{5-4i} par le conjugué complexe du dénominateur, 5+4i.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{\left(5-4i\right)\left(5+4i\right)})$$

Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{5^{2}-4^{2}i^{2}})$$

Par définition, i^{2} est égal à -1. Calculez le dénominateur.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{41})$$

Multipliez les nombres complexes 2+3i et 5+4i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$Re(\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4i^{2}}{41})$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$Re(\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right)}{41})$$

Effectuez les multiplications dans 2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right).

$$Re(\frac{10+8i+15i-12}{41})$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 10+8i+15i-12.

$$Re(\frac{10-12+\left(8+15\right)i}{41})$$

Effectuez les additions dans 10-12+\left(8+15\right)i.

$$Re(\frac{-2+23i}{41})$$

Diviser -2+23i par 41 pour obtenir -\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i.

$$Re(-\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i)$$

La partie réelle de -\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i est -\frac{2}{41}.

$$-\frac{2}{41}$$