Résoudre 1/x-3+18/x^2-9=x/x+3

$$\frac{ 1 }{ x-3 } + \frac{ 18 }{ { x }^{ 2 } -9 } = \frac{ x }{ x+3 }$$

Calculer x

$$x=7$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Additionner 3 et 18 pour obtenir 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Ajouter 3x aux deux côtés.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combiner x et 3x pour obtenir 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=4 ab=-21=-21$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -21.

$$-1,21 -3,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

La solution est la paire qui donne la somme 4.

$$a=7 b=-3$$

Réécrire -x^{2}+4x+21 en tant qu’\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right).

$$\left(-x^{2}+7x\right)+\left(-3x+21\right)$$

Factorisez -x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-7\right)-3\left(x-7\right)$$

Factoriser le facteur commun x-7 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-7\right)\left(-x-3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-7=0 et -x-3=0.

$$x=7 x=-3$$

La variable x ne peut pas être égale à -3.

$$x=7$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Additionner 3 et 18 pour obtenir 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Ajouter 3x aux deux côtés.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combiner x et 3x pour obtenir 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+4x+21=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 4 à b et 21 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\times 21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 21.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+84}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 16 et 84.

$$x=\frac{-4±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 100.

$$x=\frac{-4±10}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-4±10}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±10}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -4 et 10.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Diviser 6 par -2.

$$x=-3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-4±10}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 10 à -4.

$$x=-\frac{14}{-2}$$

Diviser -14 par -2.

$$x=7$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-3 x=7$$

La variable x ne peut pas être égale à -3.

$$x=7$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x-3,x^{2}-9,x+3.

$$x+3+18=\left(x-3\right)x$$

Additionner 3 et 18 pour obtenir 21.

$$x+21=\left(x-3\right)x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par x.

$$x+21=x^{2}-3x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+21-x^{2}=-3x$$

Ajouter 3x aux deux côtés.

$$x+21-x^{2}+3x=0$$

Combiner x et 3x pour obtenir 4x.

$$4x+21-x^{2}=0$$

Soustraire 21 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$4x-x^{2}=-21$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=-21$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=-\frac{21}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=-\frac{21}{-1}$$

Diviser 4 par -1.

$$x^{2}-4x=-\frac{21}{-1}$$

Diviser -21 par -1.

$$x^{2}-4x=21$$

Divisez -4, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -2. Ajouter ensuite le carré de -2 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=21+\left(-2\right)^{2}$$

Calculer le carré de -2.

$$x^{2}-4x+4=21+4$$

Additionner 21 et 4.

$$x^{2}-4x+4=25$$

Factor x^{2}-4x+4. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=25$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Simplifier.

$$x-2=5 x-2=-5$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$x=7 x=-3$$

La variable x ne peut pas être égale à -3.

$$x=7$$