Résoudre x-17/x^2+2=-6

$$\frac { x - 17 } { x ^ { 2 } + 2 } = - 6$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Multiplier les deux côtés de l’équation par x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -6 par x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Ajouter 6x^{2} aux deux côtés.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Ajouter 12 aux deux côtés.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

Additionner -17 et 12 pour obtenir -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 6x^{2}+ax+bx-5. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=-5 b=6$$

Réécrire 6x^{2}+x-5 en tant qu’\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(6x^{2}-5x\right)+\left(6x-5\right)$$

Factoriser x dans 6x^{2}-5x.

$$x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Factoriser le facteur commun 6x-5 en utilisant la distributivité.

$$\left(6x-5\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 6x-5=0 et x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multiplier les deux côtés de l’équation par x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -6 par x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Ajouter 6x^{2} aux deux côtés.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Ajouter 12 aux deux côtés.

$$x-17+6x^{2}+12=0$$

Additionner -17 et 12 pour obtenir -5.

$$x-5+6x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$6x^{2}+x-5=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 6 à a, 1 à b et -5 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -4 par 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Multiplier -24 par -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 6}$$

Additionner 1 et 120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Extraire la racine carrée de 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 6}$$

Multiplier 2 par 6.

$$x=\frac{-1±11}{12}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±11}{12} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 11.

$$x=\frac{10}{12}$$

Réduire la fraction \frac{10}{12} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±11}{12} lorsque ± est négatif. Soustraire 11 à -1.

$$x=-\frac{12}{12}$$

Diviser -12 par 12.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

Multiplier les deux côtés de l’équation par x^{2}+2.

$$x-17=-6\left(x^{2}+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -6 par x^{2}+2.

$$x-17=-6x^{2}-12$$

Ajouter 6x^{2} aux deux côtés.

$$x-17+6x^{2}=-12$$

Ajouter 17 aux deux côtés.

$$x+6x^{2}=-12+17$$

Additionner -12 et 17 pour obtenir 5.

$$x+6x^{2}=5$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+x=5$$

Divisez les deux côtés par 6.

$$\frac{6x^{2}+x}{6}=\frac{5}{6}$$

La division par 6 annule la multiplication par 6.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x=\frac{5}{6}$$

Divisez \frac{1}{6}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{12}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{12} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{12} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{6}+\frac{1}{144}$$

Additionner \frac{5}{6} et \frac{1}{144} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{121}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{12}=\frac{11}{12} x+\frac{1}{12}=-\frac{11}{12}$$

Soustraire \frac{1}{12} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{5}{6} x=-1$$