Résoudre x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Calculer x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}, le plus petit commun multiple de \left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x^{2}+2x+1 par x^{3}-1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x^{2}-2x+1 par x^{3}+1.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Pour trouver l’opposé de x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combiner x^{5} et -x^{5} pour obtenir 0.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combiner -x^{2} et -x^{2} pour obtenir -2x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combiner 2x^{4} et 2x^{4} pour obtenir 4x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combiner -2x et 2x pour obtenir 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Combiner x^{3} et -x^{3} pour obtenir 0.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Soustraire 1 de -1 pour obtenir -2.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+1\right)^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 6 par x^{2}-2x+1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 6x^{2}-12x+6 par x^{2}+2x+1 et combiner les termes semblables.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Soustraire 6x^{4} des deux côtés.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

Combiner 4x^{4} et -6x^{4} pour obtenir -2x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Ajouter 12x^{2} aux deux côtés.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

Combiner -2x^{2} et 12x^{2} pour obtenir 10x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Soustraire 6 des deux côtés.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

Soustraire 6 de -2 pour obtenir -8.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Substituer t pour x^{2}.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez -2 pour a, 10 pour b et -8 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Résoudre l’équation t=\frac{-10±6}{-4} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=1 t=4$$

Depuis x=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant x=±\sqrt{t} pour chaque t.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 1,-1.

$$x=-2 x=2$$