Résoudre x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Calculer x

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -9,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+9\right), le plus petit commun multiple de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplier x+9 et x+9 pour obtenir \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combiner x^{2} et x^{2}\times 16 pour obtenir 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 8x par x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Soustraire 8x^{2} des deux côtés.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combiner 17x^{2} et -8x^{2} pour obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Soustraire 72x des deux côtés.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combiner 18x et -72x pour obtenir -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que x^{2}+ax+bx+9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

La solution est la paire qui donne la somme -6.

$$a=-3 b=-3$$

Réécrire x^{2}-6x+9 en tant qu’\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Factorisez x du premier et -3 dans le deuxième groupe.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Réécrire sous la forme d’un binôme carré.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Pour rechercher la solution de l’équation, résolvez x-3=0.

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -9,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+9\right), le plus petit commun multiple de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplier x+9 et x+9 pour obtenir \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combiner x^{2} et x^{2}\times 16 pour obtenir 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 8x par x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Soustraire 8x^{2} des deux côtés.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combiner 17x^{2} et -8x^{2} pour obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Soustraire 72x des deux côtés.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combiner 18x et -72x pour obtenir -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 9 à a, -54 à b et 81 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Calculer le carré de -54.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplier -4 par 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Multiplier -36 par 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Additionner 2916 et -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Extraire la racine carrée de 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

L’inverse de -54 est 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Multiplier 2 par 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Diviser 54 par 18.

$$x=3$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -9,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+9\right), le plus petit commun multiple de x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplier x+9 et x+9 pour obtenir \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Combiner x^{2} et x^{2}\times 16 pour obtenir 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 8x par x+9.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Soustraire 8x^{2} des deux côtés.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Combiner 17x^{2} et -8x^{2} pour obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Soustraire 72x des deux côtés.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Combiner 18x et -72x pour obtenir -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Soustraire 81 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Divisez les deux côtés par 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

La division par 9 annule la multiplication par 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Diviser -54 par 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Diviser -81 par 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Divisez -6, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -3. Ajouter ensuite le carré de -3 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Calculer le carré de -3.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Additionner -9 et 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Factor x^{2}-6x+9. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifier.

$$x-3=0 x-3=0$$

Ajouter 3 aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=3$$

L’équation est désormais résolue. Les solutions sont identiques.

$$x=3$$