Résoudre 5-2x/3+4<3x-5/4*3x/2

$$\frac { 5 - 2 x } { 3 } + 4 < \frac { 3 x - 5 } { 4 } \cdot \frac { 3 x } { 2 }$$

Calculer x

$$x\in \left(-\infty,\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{15529}+29}{54},\infty\right)$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multipliez les deux côtés de l’équation par 12, le plus petit commun multiple de 3,4,2. Étant donné que 12 est positif, la direction d’inégalité reste la même.

$$4\left(5-2x\right)+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par 5-2x.

$$20-8x+48<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Additionner 20 et 48 pour obtenir 68.

$$68-8x<3\left(3x-5\right)\times \frac{3x}{2}$$

Exprimer 3\times \frac{3x}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$68-8x<\frac{3\times 3x}{2}\left(3x-5\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier \frac{3\times 3x}{2} par 3x-5.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 3^{2}}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Calculer 3 à la puissance 2 et obtenir 9.

$$68-8x<3\times \frac{x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Exprimer 3\times \frac{x\times 9}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$68-8x<\frac{3x\times 9}{2}x-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Exprimer \frac{3x\times 9}{2}x sous la forme d’une fraction seule.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{3\times 3x}{2}$$

Multiplier 3 et 3 pour obtenir 9.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}-5\times \frac{9x}{2}$$

Exprimer -5\times \frac{9x}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x}{2}+\frac{-5\times 9x}{2}$$

Étant donné que \frac{3x\times 9x}{2} et \frac{-5\times 9x}{2} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$68-8x<\frac{3x\times 9x-5\times 9x}{2}$$

Effectuez les multiplications dans 3x\times 9x-5\times 9x.

$$68-8x<\frac{27x^{2}-45x}{2}$$

Divisez chaque terme de 27x^{2}-45x par 2 pour obtenir \frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x.

$$68-8x<\frac{27}{2}x^{2}-\frac{45}{2}x$$

Soustraire \frac{27}{2}x^{2} des deux côtés.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}<-\frac{45}{2}x$$

Ajouter \frac{45}{2}x aux deux côtés.

$$68-8x-\frac{27}{2}x^{2}+\frac{45}{2}x<0$$

Combiner -8x et \frac{45}{2}x pour obtenir \frac{29}{2}x.

$$68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2}<0$$

Multiplier l’inégalité par -1 pour rendre le coefficient à la plus haute puissance dans 68+\frac{29}{2}x-\frac{27}{2}x^{2} positif. Étant donné que -1 est négatif, la direction d’inégalité est modifiée.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}>0$$

Pour résoudre l’inégalité, factoriser le côté gauche. Le polynôme quadratique peut être factorisé à l’aide de la transformation ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), où x_{1} et x_{2} sont les solutions de l’équation quadratique ax^{2}+bx+c=0.

$$-68-\frac{29}{2}x+\frac{27}{2}x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez \frac{27}{2} pour a, -\frac{29}{2} pour b et -68 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-\frac{29}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{29}{2}\right)^{2}-4\times \frac{27}{2}\left(-68\right)}}{2\times \frac{27}{2}}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27}$$

Résoudre l’équation x=\frac{\frac{29}{2}±\frac{1}{2}\sqrt{15529}}{27} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{\sqrt{15529}+29}{54} x=\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Réécrire l’inégalité à l’aide des solutions obtenues.

$$\frac{27}{2}\left(x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}\right)\left(x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\right)>0$$

Pour que le produit soit positif, x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} et x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} doivent être à la fois négatives ou les deux positives. Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} et x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} sont tous les deux négatifs.

$$x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}<0 x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}<0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}$$

Considérer le cas lorsque x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54} et x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54} sont tous les deux positifs.

$$x-\frac{29-\sqrt{15529}}{54}>0 x-\frac{\sqrt{15529}+29}{54}>0$$

La solution qui satisfait les deux inégalités est x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}.

$$x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$

La solution finale est l’union des solutions obtenues.

$$x<\frac{29-\sqrt{15529}}{54}\text{; }x>\frac{\sqrt{15529}+29}{54}$$