Résoudre frac{21sqrt{15}}{512+5sqrt{3}}

$$\frac { 21 \sqrt { 15 } } { 512 + 5 \sqrt { 3 } }$$

Évaluer

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}\approx 0,156210599$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{21\sqrt{15}}{512+5\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{\left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right)}$$

Considérer \left(512+5\sqrt{3}\right)\left(512-5\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{512^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer 512 à la puissance 2 et obtenir 262144.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Étendre \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer 5 à la puissance 2 et obtenir 25.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-25\times 3}$$

Multiplier 25 et 3 pour obtenir 75.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262144-75}$$

Soustraire 75 de 262144 pour obtenir 262069.

$$\frac{21\sqrt{15}\left(512-5\sqrt{3}\right)}{262069}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 21\sqrt{15} par 512-5\sqrt{3}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{15}}{262069}$$

Factoriser 15=3\times 5. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{3\times 5} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{3}\sqrt{5}.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplier \sqrt{3} et \sqrt{3} pour obtenir 3.

$$\frac{10752\sqrt{15}-105\times 3\sqrt{5}}{262069}$$

Multiplier -105 et 3 pour obtenir -315.

$$\frac{10752\sqrt{15}-315\sqrt{5}}{262069}$$