Résoudre 2n^2-n-1/2(n+1)-2(n-1)^2-(n-1)-1/2n

$$\frac { 2 n ^ { 2 } - n - 1 } { 2 ( n + 1 ) } - \frac { 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } - ( n - 1 ) - 1 } { 2 n }$$

Évaluer

$$\frac{n^{2}+n-1}{n\left(n+1\right)}$$

Résumé des étapes de la solution

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de 2\left(n+1\right) et 2n est 2n\left(n+1\right). Multiplier \frac{2n^{2}-n-1}{2\left(n+1\right)} par \frac{n}{n}. Multiplier \frac{2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1}{2n} par \frac{n+1}{n+1}.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)}-\frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

Étant donné que \frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)} et \frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

Effectuez les multiplications dans \left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right).

$$\frac{2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1}{2n\left(n+1\right)}$$

Combiner des termes semblables dans 2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1.

$$\frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées dans \frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}.

$$\frac{2\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

Annuler 2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n\left(n+1\right)}$$

Étendre n\left(n+1\right).

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

Pour trouver l’opposé de -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

Pour trouver l’opposé de \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)}{n^{2}+n}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} par n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} et combiner les termes semblables.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

Multiplier -\frac{1}{4} et 5 pour obtenir -\frac{5}{4}.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

Additionner -\frac{5}{4} et \frac{1}{4} pour obtenir -1.

$$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+n}$$

Développer

$$\frac{n^{2}+n-1}{n\left(n+1\right)}$$

Résumé des étapes de la solution

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de 2\left(n+1\right) et 2n est 2n\left(n+1\right). Multiplier \frac{2n^{2}-n-1}{2\left(n+1\right)} par \frac{n}{n}. Multiplier \frac{2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1}{2n} par \frac{n+1}{n+1}.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)}-\frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

Étant donné que \frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n}{2n\left(n+1\right)} et \frac{\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{\left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

Effectuez les multiplications dans \left(2n^{2}-n-1\right)n-\left(2\left(n-1\right)^{2}-\left(n-1\right)-1\right)\left(n+1\right).

$$\frac{2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1}{2n\left(n+1\right)}$$

Combiner des termes semblables dans 2n^{3}-n^{2}-n-2n^{3}+2n^{2}+2n-2+n^{2}-1+n+1.

$$\frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}$$

Mettez en facteur les expressions qui ne sont pas encore factorisées dans \frac{2n^{2}+2n-2}{2n\left(n+1\right)}.

$$\frac{2\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{2n\left(n+1\right)}$$

Annuler 2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n\left(n+1\right)}$$

Étendre n\left(n+1\right).

$$\frac{\left(n-\left(-\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

Pour trouver l’opposé de -\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\left(\frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}\right)\right)}{n^{2}+n}$$

Pour trouver l’opposé de \frac{1}{2}\sqrt{5}-\frac{1}{2}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{\left(n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)\left(n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2}\right)}{n^{2}+n}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier n+\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} par n-\frac{1}{2}\sqrt{5}+\frac{1}{2} et combiner les termes semblables.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{1}{4}\times 5+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

Multiplier -\frac{1}{4} et 5 pour obtenir -\frac{5}{4}.

$$\frac{n^{2}+n-\frac{5}{4}+\frac{1}{4}}{n^{2}+n}$$

Additionner -\frac{5}{4} et \frac{1}{4} pour obtenir -1.

$$\frac{n^{2}+n-1}{n^{2}+n}$$