Résoudre 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Calculer x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -6,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+6\right), le plus petit commun multiple de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+6 par 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combiner 2x et x\times 15 pour obtenir 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combiner 17x et -6x pour obtenir 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+12. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=12 b=-1$$

Réécrire -x^{2}+11x+12 en tant qu’\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Factorisez -x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Factoriser le facteur commun x-12 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-12=0 et -x-1=0.

$$x=12 x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -6,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+6\right), le plus petit commun multiple de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+6 par 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combiner 2x et x\times 15 pour obtenir 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combiner 17x et -6x pour obtenir 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 11 à b et 12 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 121 et 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±13}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Diviser 2 par -2.

$$x=-1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±13}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 13 à -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Diviser -24 par -2.

$$x=12$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-1 x=12$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -6,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+6\right), le plus petit commun multiple de x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+6 par 2.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Combiner 2x et x\times 15 pour obtenir 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+6.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Combiner 17x et -6x pour obtenir 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Soustraire 12 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$11x-x^{2}=-12$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Diviser 11 par -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Diviser -12 par -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Divisez -11, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Additionner 12 et \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}-11x+\frac{121}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Ajouter \frac{11}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=12 x=-1$$