Résoudre 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Calculer x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -40,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 48x\left(x+40\right), le plus petit commun multiple de x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Combiner 48x et 48x pour obtenir 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Soustraire 40x des deux côtés.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Combiner 96x et -40x pour obtenir 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+1920. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

La solution est la paire qui donne la somme 56.

$$a=80 b=-24$$

Réécrire -x^{2}+56x+1920 en tant qu’\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Factorisez -x du premier et -24 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Factoriser le facteur commun x-80 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-80=0 et -x-24=0.

$$x=80 x=-24$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -40,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 48x\left(x+40\right), le plus petit commun multiple de x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Combiner 48x et 48x pour obtenir 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Soustraire 40x des deux côtés.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Combiner 96x et -40x pour obtenir 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 56 à b et 1920 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 56.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 3136 et 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-56±104}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -56 et 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Diviser 48 par -2.

$$x=-24$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-56±104}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 104 à -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Diviser -160 par -2.

$$x=80$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-24 x=80$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -40,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 48x\left(x+40\right), le plus petit commun multiple de x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Combiner 48x et 48x pour obtenir 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Soustraire 40x des deux côtés.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Combiner 96x et -40x pour obtenir 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Soustraire 1920 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Diviser 56 par -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Diviser -1920 par -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Divisez -56, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -28. Ajouter ensuite le carré de -28 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Calculer le carré de -28.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Additionner 1920 et 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Factor x^{2}-56x+784. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Simplifier.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Ajouter 28 aux deux côtés de l’équation.

$$x=80 x=-24$$